Bài 1: Tìm m để hàm số:
a)
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1.
b)
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x.
c)
có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7.
d)
có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (():
.

Giải
a) TXD : D=R
Ta có : y` = 6x2 + 6(m-1)x + 6(m-2) ; y`=0 ( y` = x2 + (m-1)x +(m-2)=0
Hàm số có cực trị khi phương trình y`=0 có 2 nghiệm phân biệt khi đó :

Mà:
(m-1)2 – 4(m-2) = (m-3)2 >0 vậy m
thì hàm số có cực trị
Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là phép dư của
vậy thực hiện phép chia
Đa thức ta có thương là : (2x+m-1)và phần dư là : (-m2 + 6m-9)x + (–m2 + 3m – 3). Cho nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là :

(d):y = (-m2 + 6m-9)x +(–m2 + 3m – 3)

Vì (d) song song với đường thẳng y = –4x + 1.nên :

(-m2 + 6m-9) = -4 (- m2 + 6m -5 =0 giải ra ta có:
m=1 (nhận) và m=5 (nhận)
Kết luận : m=1 và m=5 thõa mãn yêu cầu bài toán




b) TXD : D= R
Y`= 6x2 + 6(m-1)x + 6m(1-2m) ; y` = 0 (y` = x2 + (m-1)x + m(1-2m) =0
Hàm số có cực trị khi phương trình y`=0 có 2 nghiệm phân biệt khi đó
. Ta có

(m-1)2- 4m(1-2m) = (3m-1)2 > 0 vậy m

để hàm số có cực trị
Thực hiện phép chia
được thương là : 2xc+ (m-1) và phép dư là : (-9m2 + 6m -1 )+ m(1-2m)(m-1) . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là :
(D) : y =(-9m2 + 6m -1 )+ m(1-2m)(m-1)
Để hai cực trị nằm trên đường thẳng y =-4x thì (D) phải trùng với đường thẳng y =-4x,khi đó:
(-9m2 + 6m -1 ) =-4 ( 9m2 – 6m – 3 = 0(1)
Và m(1-2m)(m-1) = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có m=1 thõa mãn yêu cầu bài toán

NGUYỄN AN THỌ












c) TXD : D= R
y` = 3x2 + 2mx + 7 ; y`=0 ( 3x2 + 2mx + 7 = 0 Hàm số có cực trị khi phương trình y`=0 có 2 nghiệm phân biệt khi đó :

Mà:
4m2 – 84 vậy m>
hoặc m< -


Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là phép dư của
vậy thực hiện phép chia

đa thức ta có thương là : (
) và phép dư là
. Cho nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là :
(D) :y =
.Vì (D) vuông góc với đường thẳng
y = 3x – 7. nên
(
(m =


Kết luận : m =
thõa mãn yêu cầu bài toán

d) TXD : D=R
y ` = 3x2 – 6x + m2 ; y`=0 (3x2 – 6x + m2 = 0,. Hàm số có cực trị khi phương trình y`=0 có 2 nghiệm phân biệt khi đó :


Mà:
-3m +9 >0 ( -
. Thực hiện phép chia
được thương là

và phần dư là:
Cho nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: (D) y =
, muốn hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua (
) thì (D)
và (
) đi qua trung điểm của (D)ta có :


(1)
Gọi I (a,b) là trung điểm của (D) ta có :
a